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Ersatzzweipolquellen-Verfahren

Das Ersatzzweipolquellen-Verfahren ist ein Verfahren zur Berechnung elektrischer Netzwerke. Es ist insbesondere dann empfehlenswert, wenn in einem Netzwerk nur eine einzige Größe berechnet werden soll. Beim Ersatzzweipolquellen-Verfahren wird das vorhandene Netzwerk in einen Zweipol umgeformt, an den dann die zu berechnende Komponente angeschlossen wird. Der Zweipol besteht nur aus einer Quelle und einem Innenwiderstand, wodurch eine einfache Berechnung der gesuchten Größe möglich wird. Man kann dabei mit einer Ersatzspannungsquelle oder einer Ersatzstromquelle arbeiten.

Vorgehensweise

Das Verfahren soll an der folgenden Schaltung untersucht werden. Damit das Verfahren möglichst allgemeingültig erklärt werden kann, sind hier sowohl mehrere Widerstände als auch Spannungsquellen vorhanden:




Gesucht ist der Strom I3 durch den Widerstand R3.

Ersatzspannungsquelle

Soll ein Ersatzzweipol mit einer Spannungsquelle aufgebaut werden, wird das Verfahren in den folgenden vier Schritten durchgeführt:

  1. Widerstand entfernen
    Der relevante Widerstand wird aus der Schaltung entfernt. An seiner Position werden die Anschlussstellen eines Zweipols eingefügt. An diesem Zweipol kann die Spanung UL abgegriffen werden, welche identisch mit der über dem Widerstand abfallenden Spannung ist:




Die Schaltung soll nun so umgerechnet werden, dass ihr Verhalten durch eine Spannungsquelle und einen Innenwiderstand abgebildet werden kann. Zur besseren Übersicht wird die Darstellung noch etwas abgewandelt, damit der Zweipol direkt erkennbar wird:






  1. Innenwiderstand bestimmen
    Als erstes wird der Innenwiderstand der Schaltung bestimmt. Da es sich bei den Spannungsquellen um ideale Spannungsquellen handelt, haben sie keinen eigenen Widerstand und können als Kurzschluss betrachtet werden. Es ergibt sich damit eine Parallelschaltung von R1 und R2:












  1. Leerlaufspannung bestimmen
    Als nächstes wird die Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle bestimmt. Da es sich in dem gegebenen Netzwerk um lineare Widerstände handelt, darf das Superpositionsprinzip angewendet werden. Damit kann die Leerlaufspannung für jede der beiden regulären Spannungsquellen separat berechnet werden.
    Für die Spannungsquelle U
    q1 ergibt sich folgendes Netzwerk:




Man erkennt, dass es sich um einen Spannungsteiler handelt. Betrachtet man nur Uq1 berechnet sich die Leerlaufspannung UL1 damit zu:


Für Uq2 ergibt sich folgende Schaltung:

Die Leerlaufspannung des gesamten Systems berechnet sich damit zu:



  1. Zweigwiderstand einfügen
    Mit diesen Größen kann nun ein Ersatzschaltbild erzeugt werden, in welchem der zu betrachtende Zweigwiderstand R3 an den Zweipol angeschlossen wird:














Für den gesuchten Strom I
3 gilt nun:

und mit den berechneten Größen:

Ersatzstromquelle

Wird eine Ersatzstromquelle als Zweipol verwendet, sind die ersten beiden Schritte identisch zur Ersatzspannungsquelle. Danach werden die folgenden Schritte durchgeführt:

  1. Kurzschlussstrom bestimmen
    Anstelle der Leerlaufspannung werden hier die Kurzschlussströme berechnet. Man kann wiederrum das Superpositionsverfahren einsetzen. Hier bei ist es günstiger, mit Leitwerten anstat mit Widerständen zu rechnen. Betrachtet man nur Uq1 berechnet sich der Kurzschlussstrom zu:


















    Für Uq2 ergibt sich:





    Für den gesamten Kurzschlussstrom gilt damit:













  2. Zweigwiderstand einfügen
    Nun kann man wiederrum die Ersatzschaltung aufbauen, und den zu betrachtenden Zweigwiderstand anschließen:



    Für den gesuchten Strom gilt diesmal:

    und mit den berechneten Größen:



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