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Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem (abgekürzt LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten x.

Aufbau

Ein LGS vom Typ sieht folgendermaßen aus:



Größere Lineare Gleichungssysteme werden üblicherweise in Matrixschreibweise dargestellt:


mit


: Koeffizientenmatrix

: Lösungsvektor

: rechte Seite


wobei die Elemente folgendermaßen aufgebaut sind:



Lösungsmöglichkeiten

LGS können mit verschiedenen Verfahren wie dem Gauß'schem Eliminationsverfahren oder der Cramer'schen Regel, die auf Determinanten aufbaut, gelöst werden.


Es gibt folgende Lösungsmöglichkeiten, abhängig vom Rang der Matrix:

  1. genau eine Lösung ()

  2. unendlich viele Lösungen (, aufgrund von Abhängigkeiten zwischen Gleichungen, müssen Parameter eingeführt werden; es ergibt sich z.B. eine Lösungsgerade bei einem Paramenter, Lösungsebene bei zweien usw.)

  3. keine Lösung (es entsteht ein Widerspruch; z.B. )


Beispiel mit einem -System, welches für zwei Geradengleichungen stehen kann:

Eine Lösung:

(die Geraden Kreuzen sich)

Unendlich viele Lösungen:

(Geraden liegen aufeinander)

Keine Lösung:

(Geraden parallel)


Ein homogenes LGS hat als Lösung den Nullvektor und ist aufgrund dessen immer eindeutig lösbar (Triviallösung ).

Erhält man eine allgemeine Lösung, z.B. Schnittgerade zweier Ebenen im dreidimensionalen Raum, so kann man man durch annehmen von Werten für die Parameter auch spezielle Lösungen bestimmen.



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