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Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung ist ein mathematisches Verfahren, mit dem Funktionen in eine Summe von Brüchen, sogenannte Partialbrüche zerlegt werden können, um deren weitere Verarbeitung zu erleichtern.

Die Partialbruchzerlegung einer Funktion q(x) erfolgt in 3 Schritten:

1. Bestimmung der Nullstellen von q(x) (Linearfaktoren)

Hierbei können 4 verschiedene Arten von Linearfaktoren auftreten:

für jede k-fache reelle Nullstelle

für jdes Paar k-facher komplexer Nullstellen

2. Ansatz der Partialbruchzerlegung

Mit zunächst nicht bestimmten Koeffizienten

werden folgende Partialbrüche angesetzt

Nennerterm Partialbruchansatz

Nun wird eine Gleichung aufgestellt:

Links die ursprüngliche Funktion q(x), rechts die Summe aller Partialbrüche.

Danach werden alle Partialbrüche auf einen Hauptnenner gebracht.

Die Zähler der linken und rechten Seite ergeben nun eine Gleichung, mit den Koeffizienten als Unbekannten. Diese lassen sich durch Koeffizientenvergleich und anschließendes Aufstellen eines linearen Gleichungssystems lösen.

Alternativ kann man auch die Nennernullstellen (bei diesen fällt automatisch ein Großteil der Gleichung weg) und weitere Werte einsetzen, um auf das LGS zu kommen.



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