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Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung (abgekürzt DGL) ist eine mathematische Gleichung zu einer Funktion, die auch Ableitungen dieser Funktion enthält.

Dieser Artikel beschäftigt sich im Wessentlichen mit den Eigenschaften und dem Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Arten von Differentialgleichungen

Es gibt im Wesentlichen zwei Arten von Differentialgleichungen: Gewöhnliche und Partielle Differentialgleichungen.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der neben der unabhängigen Variablen x und der gesuchten Funktion y(x) auch mindestens eine der Ableitungen der gesuchten Funktion vorkommt.


Beispiele:


Der Begriff gewöhnliche Differentialgleichung gibt an, dass in dieser Gleichung nur Ableitungen einer Variablen/Funktion vorkommen.

Partielle Differentialgleichungen

Eine partielle Differentialgleichung enthält Ableitungen mehrerer Variablen.

Merkmale und Eigenschaften von Differentialgleichungen

Ordnung

Die Ordnung einer DGL wird durch die höchste vorkommende Ableitung bestimmt.


Beispiel: (dritte Ordnung)

Linearität

Eine lineare Differentialgleichung besteht nur aus Linearkombinationen (d.h. Summen und Differenzen) der einzelnen Ableitungen in erster Potenz mit entsprechenden Koeffizienten


Beispiel: -> linear


-> nichtlinear


Homogenität

Um die Homogenität einer DGL zu bestimmen, muss man ermitteln, ob sie eine Störfunktion besitzt. Zur Störfunktion gehören alle Terme, die von der Variablen x abhängig sind, aber nicht die gesuchte Funktion y enthalten.

Enthält eine DGL keine von und dessen Ableitungen freie Störfunktion, so ist sie homogen.

Beispiel: -> homogen


-> inhomogen

Separierbarkeit

Ist dann gegeben, wenn sich die Gleichung in der Form ausdrücken lässt.


Beispiele:


separierbar


separierbar


nicht separierbar

Lösen von Differentialgleichungen

Für das Lösen von Differentialgleichungen gibt es je nach Art der DGL unterschiedliche Verfahren. Man kann dabei immer eine homogene und eine inhomogene Lösung ermitteln. Die homogene Lösung ergibt sich, wenn bei der DGL keine Störfunktion vorhanden ist, oder die Störfunktion auf 0 gesetzt wird. Weiterhin gibt es verschiedene Abstufungen bei den Lösungsarten.

Lösungsarten von Differentialgleichungen

Bei einer Differentialgleichung n-ter Ordnung unterscheidet man zwischen drei Varianten die man beim Lösen der DGL erhalten kann:

  1. Allgemeine Lösung
    Ist nur von unabhängigen Parametern abhängig:

  2. Spezielle Lösung: Geht aus der allgemeinen Lösung hervor. Durch Einbeziehung von Anfangswerten oder Randbedingungen nehmen die Konstanten spezielle Werte an.

  3. Singuläre Lösung: Ist nicht in der Allgemeinen enthalten, aber dennoch korrekt.


Beispiel:




Anfangs-/Randbedingungen in allg. Lösung einsetzen:


Spezielle Lösung:

Differentialgleichungen 1. Ordnung

Lösungsansatz: Trennen der Variablen

Dieser Ansatz wird verwendet, um separierbare DGLn erster Ordnung zu lösen. Hierbei werden die und getrennt integriert.

Vorgehensweise

  1. Schreiben der DGL in der Form

  2. Auflösen nach , falls möglich


Beispiel:


Anfangsbedingung:


allgemeine Lösung:


spezielle Lösung (einsetzen der Anfangsbedingung):

Lösungsansatz: Substitution

Bestimmte Typen lassen sich so in eine separierbare DGL überführen, die dann mit Hilfe der Trennung der Variablen zu lösen ist.

Typ 1:

  1. Substituieren

  2. DGL lautet nun

  3. Lösung durch „Trennung der Variablen“

  4. Resubstituieren und auflösen nach , falls möglich


Beispiel:



Substituieren:


„Trennen der Variablen“:


Resubstituieren:

Typ 2:

  1. Substituieren:

  2. DGL lautet nun

  3. Lösung durch „Trennung der Variablen“

  4. Resubstituieren und auflösen nach , falls möglich


Beispiel:


Substituieren:


„Trennen der Variablen“:


Resubstituieren:


Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

  • wird gesucht, ist die erste Ableitung

  • bzw. ist der Koeffizient (bekannt)

  • ist die Störfunktion (bekannt) und bei homogenen DGLn Null

Homogene Lösung

ist stets eine, die triviale, Lösung

allgemein:


Beispiel:


Inhomogene Lösung

allgemein:

Da zweimal Verwendung findet, sucht man normalerweise erst die homogene Lösung.


Beispiel:





Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung


Eingenschaften von :

Homogene Lösung


sind linear unabhängige Lösungen von


Das Überprüfen der linearen Unabhängigkeit kann mit Hilfe der Wronski-Determinanten erfolgen.

Inhomogene Lösung

Es genügt die allg. Lösung der homogenen und eine der inhomogenen DGL zu bestimmen.


  • allgemeine Lösung der homogenen DGL:

  • spezielle Lösung der inhomogenen DGL:

Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten


Homogene Lösung

Nach dem Aufstellen der charakteristischen Gleichung werden und mit Hilfe der pq-Formel bestimmt. Nun werden drei Fälle unterschieden:


  1. Fall:

    hom. DGL besitzt die zwei Lösungen

  2. Fall:

    hom. DGL besitzt eine doppelte Lösung

  3. Fall:

    hom. DGL besitzt die konjugiert komplexen Lösungen und


Inhomogene Lösung

Der Ansatz richtet sich nach dem Typ der Störfunktion (siehe Tabelle).


Beispiel:


  1. Charakteristische Gleichung:

  2. Ansatz für aus Tabelle ablesen und Ableitungen berechnen:

    Einsetzen in die DGL:

  3. Für spezielle Lösung und finden: bestimmen und die Werte aus dem gegebenen Anfangsproblem einsetzen.

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten


Homogene Lösung

charakteristische Gleichung: (besitzt Nullstellen)


Lösungsfunktionen (gemäß der Vielfalt der Nullstellen):

  • : einfache Nullstelle

  • : k-fache Nullstelle

  • : einfache Nullstelle

  • : k-fache Nullstelle

Die Linearkombination dieser Lösungsfunktionen ergibt .

Inhomogene Lösung

Der Ansatz richtet sich nach dem Typ der Störfunktion (siehe Tabelle).


Beispiel:


charakteristische Gleichung:



Ansatz für partikuläre Lösung nach Tabelle:



Einsetzen in Ausgangs-DGL mit anschließendem Koeffizientenvergleich:




Lösungsansätze für inhomogene Differentialgleichungen

  • für eine spezielle Lösung von

  • charakteristische Gleichung:

  • : Grad der Störfunktion

  • und : unbekannte Konstanten, die durch Randbedingungen bestimmt werden müssen


Typ der Störfunktion

Einschränkung für die Lösung der charakt. Gleichung

Ansatz

Null ist keine Lösung

(d.h. )

Null ist einfach Lösung

(d.h. )

Null ist doppelte Lösung

(d.h. )

ist keine Lösung

ist einfach Lösung

ist doppelte Lösung

oder

sind keine Lösungen

sind einfache Lösungen

oder

ist keine Lösung

ist eine Lösung


Die Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann in folgenden Schritten erfolgen:


  1. Bestimmen der allgemeinen Lösung der zugehörigen hom. DGL

  2. Ermitteln einer speziellen Lösung in den Teilschritten

    • Ansatz für gemäß obiger Tabelle

    • Bilden der ersten und zweiten Ableitung von

    • Koeffizientenvergleich nach Einsetzen des Ansatzes und seinen Ableitungen in die DGL und Ermitteln der unbestimmten Größen im Ansatz

  1. Bilden der allgemeinen Lösung der inhomogen DGL

  2. Gegebenfalls Lösen einer Anfangswertaufgabe zur Bestimmung von und



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