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Differentialrechnung

Die Differentialrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, genauer der Analysis, welches sich mit Änderungsverhalten von mathematischen Funktionen befasst. Da die mathematische Beschreibung technischer Vorgänge insbesondere in der Elektrotechnik häufig die zeitliche Änderung physikalischer Größen beinhaltet, stellt die Differentialrechnung damit ein wichtiges Grundwerkzeug der Ingenieurmathematik für den Elektrotechniker dar.

Theoretischer Hintergrund

Will man das Änderungsverhalten einer Funktion beschreiben, muss man ihre Steigung bestimmen. Die Steigung einer Funktion f (x) gibt an, welche Verlauf diese im Punkt x nimmt. Die Steigung einer Funktion im Punkt x ergibt sich durch die Funktionsgleichung einer Tangente durch diesen Punkt.

Ableitungsregeln

Für alle elementaren Funktionen lassen sich mit dem oben beschriebenen Grenzwertverfahren die entsprechenden Ableitungen bestimmen. Die wichtigsten sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt:

Funktionstyp

f(x)

f '(x)

Konstante

Potenzfunktion

Wurzelfunktion

Trigonometrische Funktionen




Arkusfunktionen




Exponentialfunktionen


Logarithmusfunktionen




Anwendungsbeispiele

Eines der einfachsten Beispiele ist die Ableitung einer Potenzfunktion. Dies stellt gleichzeitig auch einen der häufigsten Anwendungsfälle beim Ableiten dar.

Gegeben sei eine Funktion f(x) mit:



f(x)=x³-8x²+25x+14



Mit der in der obigen Tabelle aufgeführten Ableitungsregel für Potenzfunktionen lässt sich die Ableitung f '(x) dieser Funktion relativ einfach bestimmen. Die Funktion ist als Summe mehrerer Potenzfunktionen anzusehen. Jeder Summand wird einzeln abgeleitet indem der Vorfaktor mit dem jeweiligen Exponenten multipliziert und der Exponent um 1 erniedrigt wird. Es ergibt sich:

f(x)=x³ - 8x² + 25x1 +14x0 (x0 = 1 !!!)

=> f '(x)=3x² - 2∙8x + 1∙25x+ 0∙14

=> f '(x)=3x²-16x+25



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