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Korrelation

Als Korrelation wird in der Signalanalyse ein mathematisches Verfahren bezeichnet, mit dem die Ähnlichkeit zweier Signale untersucht werden kann.

Korrelationskoeffizient

Eine wichtige Größe in der Korrelationsmesstechnik und auch in der Statistik ist die Varianz. Sie beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der Messwerte eines Datensatzes x vom Mittelwert dieses Datensatzes. Es gilt:

Die Quadratwurzel der Varianz wird als Standardabweichung σx bezeichnet.

Die Kovarianz beschreibt die Ähnlichkeit zweier Datensätze x und y. Es gilt:

Um vergleichbare Ergebnisse zu erhalten, muss die Kovarianz noch normiert werden, indem durch das Produkt der Standardabweichungen der beiden Datensätze dividiert wird. Es ergibt sich der Korrelationskoeffizient:

mit

Je höher der Korrelationskoeffizient, desto größer die Ähnlichkeit der beiden Datensätze.

Kreuzkorrelation

Mit den bisher vorgestellten Methoden lässt sich jedoch nur feststellen, ob zwei Signale direkt miteinander korrelieren. Soll überprüft werden, ob ein Zusammenhang zwischen zwei Datensätzen über eine zeitliche Verschiebung besteht, muss die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) angewendet werden. Dabei seien x und y die endlichen Datensätze zweier abgetasteter Funktionen mit:

und

wobei der Datensatz y um k Abtastwerte verschoben wird. Bildet man nun die Kovarianzen der beiden Datensätze für unterschiedliche Verschiebungen k, erhält man die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF):

für Wechselgrößen werden die Mittelwerte Null und die Gleichung vereinfacht sich zu:

Die KKF hat ihr Maximum bei dem Wert k, der zeitlichen Verschiebung von y, bei dem sich die größte Ähnlichkeit zwischen den Datensätzen x und y ergibt. Anhand eines einfachen Schemas soll nun die Kreuzkorrelation zweier Signale erläutert werden:

Gegeben seien ein einfaches Sendesignal x und ein dazugehöriges Empfangssignal y. Das Signal y tritt aufgrund der Laufzeit des Sendesignals mit einer zeitlichen Verzögerung (in diesem Beispiel drei Zeiteinheiten) auf.


Einfaches Sendesignal

 


Einfaches Empfangssignal

Die Signallaufzeit lässt sich nun mit der KKF berechnen. Für jede Verschiebung k müssen die Funktionswerte des Sendesignals mit den entsprechenden Funktionswerten des verschobenen Empfangssignals multipliziert werden. Diese Produkte werden aufsummiert und ergeben den spezifischen Wert der KKF für jedes k. Es ergeben sich folgende Werte bei den entsprechenden Verschiebungen von k:


Sendesignal






k

Verschobenes Empfangssignal

Wert der KKF

0



0

1



0

2



1

3



2

4



1

Schematische Darstellung einer Korrelation

Insgesamt ergibt sich nun folgender Verlauf für die KKF:


Verlauf der Korrelationsfunktion

Das Maximum der KKF und damit auch die zeitliche Verschiebung zwischen Sende- und Empfangssignal liegt bei drei. Dies lässt sich durch Vergleich mit den ursprünglichen Signalen bestätigen.



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