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Matrix

Eine Matrix ist in der Mathematik ein rechteckiges Zahlenschema.

Aufbau einer Matrix

Eine Matrix vom Typ besteht aus Zeilen und Spalten:


Die Zahlen heißen Elemente von .

Matrix-Operationen

Auf Matrizen können viele Rechenoperationen angewendet werden, die mit Skalaren, also normalen Zahlen auch möglich sind. Es gibt aber einige Besonderheiten:

Addition und Subtraktion

Zwei Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert, indem die gleichgestellten Elementen miteinander verrechnet werden. Die Matrizen müssen dazu vom gleichen Typ sein, also gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl haben.

Beispiel:

Skalare Multiplikation

Bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar, also einer gewöhnlichen Zahl, müssen lediglich alle Matrix-Elemente mit diesem Skalar multipliziert werden.

Beispiel:

Matrix-Multiplikation

Die Multiplikation ist nur dann definiert, wenn Spaltenzahl_A = Zeilenzahl_B ().

Bei der Matrix-Multiplikation wird immer eine Zeile der Matrix A mit einer Spalte der Matrix B verrechnet. Dabei werden die Elemente mit gleichem Zeilen- bzw. Spaltenindex miteinander multipliziert und anschließend aufsummiert. Diese Summe ergibt dann ein Element in der Ergebnismatrix C in der Zeile entsprechend Matrix A und der Spalte entsprechend Matrix B.

Beispiel:


Bei der Matrixmultiplikation gilt das Kommutativgesetz nicht. Es ist also auf die Reihenfolge zu achten, denn:!

Rechenregeln:

  1. => ebenfalls auf Reihenfolge achten!

Die Matrixmultiplikation lässt sich grafisch sehr gut mit dem Falk-Schema veranschaulichen.

Eigenschaften von Matrizen

Determinante

Die Determinante ist ein Audruck der eine quadratische Matrix kennzeichnet, indem er ihr eine Zahl zuordnent. Dient die Matrix zur Darstellung eines linearen Gleichungssystems, kann mit Hilfe der Determinante eine Aussage darüber getroffen werden, ob das Gleichungssystem lösbar ist.

Die Determinante wird geschrieben als:

Ausführliche Informationen zur Berechnung finden sich im Artikel Determinante.

Rang

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten. Er ändert sich nicht, wenn elementare Zeilen- oder Spaltenoperationen auf die Matrix angewandt werden.


Ausführliche Informationen zur Berechnung finden sich im Artikel Rang

Besondere Matrizen

Quadratische Matrix

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten.

Nullmatrix

Die Nullmatrix ist eine Matrix, bei der alle Elemente Null sind.

Einheitsmatrix

Bei einer Einheitsmatrix sind alle diagonalen-Elemente 1 und die übrigen 0

z.B.:

Inverse Matrix

Die Inverse einer Matrix ist so festgelegt, dass die Multiplikation einer Matrix mit ihrer Inversen die Einheitsmatrix ergibt.


Es gilt:



Die Inverse ist also quasi der Faktor, der mit multipliziert wieder das neutrale Element ergibt (bei reellen Zahlen 1). Sie kann nur von quadratischen Matrizen mit vollem Rang gebildet werden; ist dies möglich nennt man regulär, ansonsten singulär.

Rechenregeln


Mit inversen Matrizen kann man nun Matrizengleichungen auflösen:

  1. Achtung:

  2. Achtung:

Bildung inverser Matrizen

Mit elementaren Zeilen- bzw. Spaltenoperationen (nicht mischen!) muss die Ausgangsmatrix schrittweise der entsprechenden Einheitsmatrix angenähert werden: . Zeilenoperationen werden von links, Spaltenoperationen von rechts durchgeführt.

Wird bei der Überführung mind. eine Zeile komplett Null, so ist die Matrix singulär und es gibt keine Inverse.


Bildung inverser Matrizen mit Determinanten (Inversenformel)

Eine Bildung der Inversen ist auch mit der sogenannten Inversenformel möglich:

(gilt natürlich nur, wenn regulär ist)



Transponierte Matrix

Eine transponierte Matrix ist die Matrix bei der alle Zeilen und Spalten gegenüber der Ursprungsmatrix getauscht wurden.

Wenn , heißt symmetrisch.



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