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Rang

Der Rang ist in der Mathematik eine Eigenschaft einer Matrize.

Beschreibung

Der Rang der Matrix ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten. Eine Zeile oder Spalte ist linear unabhängig, wenn sie nicht durch Zeilen- oder Spaltenoperationen auf andere Zeilen oder Spalten abgebildet werden kann. Der Rang ändert sich nicht, wenn elementare Zeilen- oder Spaltenoperationen auf die Matrix angewandt werden. Es gilt:


  1. Der Rang kann maximal so groß sein, wie die Zeilen- oder Spaltenzahl der Matrix, je nachdem was geringer ist:


  2. Der Rang einer transponierten Matrix ist gleich ihrer Originalmatrix:


  3. Bei der Einheitsmatrix sind alle Zeilen und Spalten linear unabhängig. Die Einheitsmatrix hat immer „vollen Rang“:


  4. Ist die Determinante einer Matrix 0, hat sie immer den Rang 1.


Beispiele

Beide Zeilen sind linear unabhängig, da sich die zweite Zeile nicht in die erste umwandeln lässt und umgekehrt.



Die zweite Zeile lässt sich durch Multiplikation mit -2 auf die erste abbilden. Die Zeilen sind nicht linear unabhängig.


Bei größeren Matrizen ist oft nicht direkt erkennbar, wie viele Zeilen linear unabhängig sind. Durch elementare Zeilenoperationen kann eine solche Matrix dann aber überschaubarer gestaltet werden. Die Anzahl der Zeilen, die Zahlen ungleich Null enthalten, gibt dann den Rang an:



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