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Logarithmus

Der Logarithmus ist eine mathematische Operation, mit der sich Exponenten berechnen lassen. Mit Hilfe des Logarithmus lassen sich mathematische Operationen in vielen Anwendungsbereichen vereinfachen.

Beschreibung

Allgemeines

Sind bei einer Potenz das Ergebnis b und die Basis a bekannt, wird der gesuchte Exponent durch den Logarithmus beschrieben.

Es gilt:

das heißt: x ist die Zahl, mit der ich a potenzieren muss, um b zu erhalten. Die Zahl a wird als Basis bezeichnet. Die Zahl b als Numerus.

Beispiel:

x = 3, denn ich muss 5 mit 3 potenzieren, um 125 zu erhalten.



Der Logarithmus kann nur bestimmt werden, wenn Basis und Numerus positiv sind.

Spezielle Logarithmen

Es gibt verschiedene Spezialfälle des Logarithmus, die sich jeweils auf eine bestimmte Basis beziehen.

Dies sind:

  • der Zehnerlogarithmus, bezogen auf die Basis 10, geschrieben: lg

    Bsp: lg 100 = 2


  • der Zweierlogarithmus, bezogen auf die Basis 2, geschrieben: lb

    Bsp: lb 8 = 3


  • der natürliche Logarithmus, bezogen auf die eulersche Zahl e, geschrieben: ln

    Bsp: ln e = 1



Der natürliche Logarithmus als Funktion ln(x) ist die wichtigste Logarithmusfunktion in der Elektrotechnik. Er stellt die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion dar.

Er weist folgenden Verlauf auf:


Die Funktion ist streng monoton steigend und weist bei niedrigen x-Werten sehr hohe und bei hohen x-Werten sehr niedrige Steigungen auf.



Rechenregeln

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Anwendung

Mit Hilfe von Logarithmen lassen sich Daten, die einen großen Wertebereich umfassen, in eine sehr übersichtliche Darstellung bringen.

Häufig steht auf Taschenrechnern nur der natürliche Logarithmus für Berechnungen zur Verfügung. Logarithmen zu einer beliebigen anderen Basis lassen sich dann mit Hilfe von Rechenregel (5) berechnen.

Bsp:



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