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LTI-System

Ein LTI-System ist eine bestimmte Art von System in der Systemtheorie. LTI steht dabei fÜr Linear-Time-Invariant. Ein System gilt als linear, wenn zwischen Ein- und Ausgangssignal immer Proportionalit√§t herrscht. Ist das System auch zeitinvariant, wird es als Lineares Zeitinvariantes System bezeichnet (LZI-System, oder in der Üblichen AbkÜrzung LTI-System). Sind diese Vorraussetzungen gegeben, √§ndert das System ausschlie√ülich die Amplitude und die Phase eines eingehenden Signals. Damit ein System als linear gilt, muss es zwei Prinzipien genÜgen:

Verstärkungsprinzip

Dieses Prinzip besagt, dass ein System bei einem um den Faktor k verstärkten Eingangssignal, ein um k verstärktes Ausgangssignal liefert, wenn es sich um ein lineares System handelt. Anhand der nachfolgenden Abbildung wird dieses verdeutlicht.

Verstaerkungsprinzip

Das System wird mit zwei Signalen angeregt, welche sich nur in der Amplitude unterscheiden. Dadurch reagiert das System in beiden Fällen wie vorausgesagt auch mit unterschiedlichen Antworten, die sich ebenfalls nur in der Amplitude unterscheiden.

Superpositionsprinzip

Unter dem Superpositionsprinzip versteht man die Tatsache, dass sich ein Ausgangssignal auch als Summe von Teilsignalen darstellen lässt. Zunächst wird ein System mit einem beliebigen Signal angeregt und die Antwort beobachtet. Danach wird ein anderes Signal auf das System gegeben und erneut die Antwort untersucht. Wird nun die Summe der Eingangssignale auf das System gegeben, ergibt sich die Systemantwort als Summe der vorherigen Antworten des Systems. Man bezeichnet diesen Vorgang auch als Überlagerung. In der nächsten Abbildung sind zwei Eingangssignale und deren Systemantwort dargestellt.

Superpositionsprinzip

Man kann erkennen, dass sich auf Grund der unterschiedlichen Eingangssignale, zwei verschiedene Systemantworten bilden. Die n√§chste Abbildung zeigt die Überlagerung der beiden Ausgangssignale.

Superpositionsprinzip

Mathematische Beschreibung von linearen Systemen

Lineare Systeme lassen sich unterschiedlich mathematisch beschreiben. Insgesamt unterscheidet man zwischen vier verschiedenen Darstellungsformen. Dazu gehören

-         Differentialgleichungen

-         Frequenzgang

-¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Übertragungsfunktion

-         Impulsantwort

Alle linearen Systeme lassen sich mit Hilfe von Differentialgleichungen beschreiben. Diese k√∂nnen aber sehr kompliziert sein und damit schwierig zu l√∂sen. Deshalb ÜberfÜhrt man die Differentialgleichung durch geeignete Transformationen in eine algebraische Gleichung. Dadurch entsteht ein komplexwertiger Ausdruck. Diese Art der Transformation hei√üt Laplace-Transformation und ist die Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. So lassen sich dann alle Zeitfunktionen durch sog. Bildfunktionen ersetzten. Dieser Bildbereich besteht aus einem komplexwertigen Quotienten mit zwei Polynomen, die reelle und konstante Koeffizienten besitzen. Eine weitere M√∂glichkeit, um Systeme zu beschreiben, ist die Impulsantwort. Hierbei wir mit Hilfe einer Testfunktion das System angeregt. Zum Beispiel kann der Diracstoss verwendet werden. Wird der Diracstoss genutzt, so entsteht als Systemantwort die sog. Impulsantwort, die das System auch vollst√§ndig beschreibt.



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