Innenwiderstand

Der Innenwiderstand ist die Bezeichnung für den inneren Widerstand einer realen Strom- oder Spannungsquelle.

Begriffserklärung

In der Natur gibt es keine ideale Strom- oder Spannungsquelle, die an ihren Ausgangsklemmen die intern erzeugte Spannung bzw. den intern erzeugten Strom liefert. Jede in der Realität existierende Strom- oder Spannungsquelle besitzt einen gewissen Innenwiderstand. Dies können zum Beispiel bei einem Transformator unter anderem seine Wicklungen sein, oder der durch die Innenbeschaltung einer elektronischen Spannungsquelle zusammengesetzte Widerstand. Aber auch die begrenzte chemische Reaktionsgeschwindigkeit von galvanischen Elementen kann in einen Innenwiderstand übertragen werden. Bei einer Spannungsquelle sollte der Innenwiderstand immer möglichst gering sein. Bei einer Stromquelle sollte er immer möglichst hoch sein.

Bestimmung des Innenwiderstand über Kurzschlussmessung

Eine einfache Möglichkeit zur Bestimmung des Innenwiderstandes besteht in der Messung von Leerlaufspannung $U_0$ und Kurzschlussstrom $I_K$. Der Innenwidestand ergibt sich dann zu:

\begin{align}
R_i = \frac{U_0} {I_K}
\end{align}

Dies ist jedoch nicht immer möglich, da nicht alle Spannungsquellen kurzschlussfest sind oder das vorhandene Messinstrument den Kurzschlussstrom nicht verkraften würde. in diesem Fall muss man mit Messwiderständen arbeiten.

Bestimung des Innenwiderstand über Messwiderstände

Bei dieser Messmethode schließt man zwei entsprechend dimensionierte ohmsche Verbraucher (nicht zu niederohmig, um hohe Ströme zu vermeiden) nacheinander an die Quelle. Man misst  jeweils Strom und Spannung an diesen Verbrauchern. Der Inennwiderstand ergibt sich dann zu:

\begin{align}
R_i = \frac{\Delta U} {\Delta I}
\end{align}

also der Differenz der gemessenen Spannungen geteilt durch die Differenz der beiden Ströme.

Herleitung

Eine unbekannte Spannungsquelle $U_q$ mit einem unbekannten Innenwiderstand $R_i$ liefert eine messbare Klemmenspannung $U_{Klemme}$ .

An diese wird nun der Widerstand $R_1$ angeschlossen und der duch diesen Widerstand fließende Strom $R_1$, sowie die dabei am Widerstand abfallende Spannung $U_{Klemme1}$, die hier auch die Klemmenspannung darstellt, gemessen.

Nach dem ohmschen Gesetz gilt:

\begin{align}
R_1 = \frac{U_{Klemme1}} {I_1}
\end{align}

sowie

\begin{align}
I_1 = \frac{U_q} {R_i+R_1}
\end{align}

setzt man nun $(3)$ in $(4)$ erhält man:

\begin{align}
I_1 = \frac{U_q} {R_i+\frac{U_{Klemme1}} {I_1}}
\end{align}

und nach $U_q$ umgeformt:

\begin{align}
I_1 \cdot R_i + U_{Klemme1}= U_q
\end{align}

Wiederholt man dasselbe Verfahren mit einem zweiten Widerstand $R_2$ , ergibt sich analog:

\begin{align}
I_2 \cdot R_i + U_{Klemme2}= U_q
\end{align}

Setzt man nun die beiden Therme $(6)$ und $(7)$ gleich ergibt sich eine Gleichung bei der als einzige Unbekannte der Innenwiderstand $R_i$ auftaucht, alle anderen Größen sind gemessen worden:

\begin{align}
I_1 \cdot R_i + U_{Klemme1}= I_2 \cdot R_i + U_{Klemme2}
\end{align}

Nach Umformung erhält man so:

\begin{align}
R_i = \frac{U_{Klemme1} – U_{Klemme2}} {I_1-I_2}
\end{align}

Und dies entspricht der oben aufgeführten Gleichung:

\begin{align}
R_i = \frac{\Delta U} {\Delta I}
\end{align}

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