Schiefer Wurf

Der schiefe Wurf, auch als schräger Wurf bezeichnet, ist eines der klassischen Themen in der Kinematik. Er beschreibt die Bewegung eines Körpers bei einem Wurf unter Einfluss der Gravitation.

Der Luftwiderstand wird bei der Betrachtung des schiefen Wurfes üblicherweise vernachlässigt.

Mathematische Zusammenhänge

Die Bewegung des Körpers beim schiefen Wurf lässt sich nach dem Superpositionsprinzip in die zwei Bewegungsrichtungen x und y zerlegen. Dabei ist x die Wurfweite und y die Wurfhöhe. $v_0$ ist die Abwurfgeschwindigkeit in Abwurfrichtung und $\alpha$ der Abwurfwinkel.

In x-Richtung gilt für die zurückgelegte Strecke s:

\begin{align}
s_x = v_0 \cdot t  \cdot \cos \alpha
\end{align}

In y-Richtung gilt:

\begin{align}
s_y = v_0 \cdot t  \cdot \sin \alpha – \frac{1} {2} g t^2
\end{align}

Schiefer Wurf als Wurfparabel

Der schiefe Wurf kann grafisch als Wurfparabel dargestellt werden.

Die Gleichung für die Wurfweite x ergibt nach t aufgelöst:

\begin{align}
t = \frac{s_x}{v_0 \cdot \cos \alpha}
\end{align}

eingesetzt in die Gleichung für die Wurfhöhe y erhält man:

\begin{align}
s_y = s_x \cdot \tan{ \alpha} – \frac{1} {2} \frac {g}{{v_0}^2 \cdot \cos^2 \alpha} {s_x}^2
\end{align}

Mit dieser Gleichung kann man die parabelförmige Flugbahn des schiefen Wurfes in einem Koordinatensystem abbilden. Im nachfolgenden Diagramm sieht man eine Matlab-Simulation des schiefen Wurfes bei verschiedenen Abschusswinkeln, dargestellt als Wurfparabel.

Wurparabel des schiefen Wurfes für verschiedene Abschusswinkel bei Abwurfhöhe Null

Spezialfälle des schiefen Wurfs

Beim schiefen Wurf gibt es mehrere Sonderfälle, die nachfolgend beschrieben sind.

Senkrechter Wurf

Beim senkrechten Wurf ist der Abwurfwinkel $\alpha = 90°$. Dadurch wird die Gleichung (1) für die Wurfweite zu 0 und es ändert sich nur die Wurfhöhe.

Der Bahnverlauf in x- und y-Richtung wird somit beschrieben durch die beiden Gleichungen

\begin{align}
s_x = 0
\end{align}

\begin{align}
s_y = v_0 \cdot t  – \frac{1} {2} g t^2
\end{align}

Waagerechter Wurf

Beim waagerechten Wurf ist der Abwurfwinkel $\alpha = 0°$. Es gibt also keine Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung und in x-Richtung findet eine gleichförmige Bewegung statt.. Die Bewegungsgleichungen lauten somit:

\begin{align}
s_x = v_0 \cdot t
\end{align}

\begin{align}
s_y =  – \frac{1} {2} g t^2
\end{align}

Schiefer Wurf mit Anfangshöhe

Bei einem schiefen Wurf mit Anfangshöhe muss man bei der Bewegungsgleichung in y-Richtung noch eine Anfangshöhe $y_0$ hinzuaddieren:

\begin{align}
s_y = y_0 + v_0 \cdot t  \cdot \sin \alpha – \frac{1} {2} g t^2
\end{align}

Im nachfolgenden Diagramm sieht man die entsprechenden Wurfparabeln bei einer Starthöhe von $y_0 = 1$.

Wurparabel des schiefen Wurfes mit Abwurfhöhe größer Null

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