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Laplace'scher Entwicklungssatz

Der Laplace'sche Entwicklungssatz ist eine Möglichkeit um die Determinante einer Matrix zu bestimmen.

Theorie

Sei


d.h. A ist eine quadratische Matrix der Dimension n wobei jedes Element der Matrix mit den Inidzes j und k angegeben wird.


Dann gilt:

    Entwicklung nach der j-ten Zeile

Also:
Die Determinante dieser Matrix ergibt sich als Summe aller Matrixelemente aus Zeile j multipliziert mit der entsprechenden Untermatrix und einer Vorzeichenkomponente.
Die Untermatrix entsteht wenn man die Elemente aus der j-ten Zeile und der k-ten Spalte des jeweiligen Elementes aus der Ursprungsmatrix A streicht.

Entsprechendes gilt auch für eine spaltenweise Entwicklung:

Entwicklung nach der k-ten Spalte



Eine Entwicklung einer 4x4 Matrix nach der ersten Zeile stellt sich also in der ersten Stufe folgendermaßen dar:

Nach diesem Prinzip kann die Determinante einer beliebig großen quadratische Matrix bestimmt werden, indem diese immer weiter in Unterdeterminanten zerlegt wird. Ab einer Dimension von3x3 kann dann zur Bestimmung der Determinanten die Saruss'schen Regel eingesetzt werden. 2x2 Determinanten lassen sich direkt berechnen nach:


Beispiel

Für ein einfaches Beispiel soll hier nun eine 3x3 Matrix nach dem Laplace'schen Entwicklungssatz vereinfacht werden. (Dies wäre grundsätzlich nicht nötig, da man die Determinante bereits nach der Sarruss'schen Regel bestimmen könnte, eine 3x3 Matrix bietet aber ein einfaches Beispiel.)

Bsp:



Entwicklung nach der 1. Zeile

Es werden alle Zahlen aus der ersten Zeile als Vorfaktoren verwendet und mit den Determinanten der entsprechenden Untermatrizen multipliziert. Die Vorzeichen der Faktoren werden entsprechend dem Vorzeichenschema angepasst.


Mit dem Entwicklungssatz ergeben sich folgende Untermatrizen:



Die Determinante kann damit berechnet werden zu:



Zu beachten ist die Änderung ders Vorzeichens im Vorfaktor der zweiten Untermatrix von 7 auf -7!

Entwicklung nach der 3. Spalte

Mit dem Entwicklungssatz ergeben sich folgende Untermatrizen:



Die Determinante kann damit berechnet werden zu:



Bei größeren Matrizen muss man die Zerlegung entsprechend mehrmals hintereinander ausführen.


Vorzeichenschema

Für die Vorzeichen der Vorfaktoren gibt es ein bestimmtes Schema, das sich aus dem Abschnitt der oben aufgeführten Formel ableitet:



d.h. wenn man die Entwicklung nach der ersten Zeile durchführt,werden die Vorfaktoren mit den Vorzeichen der ersten Zeile aus obigem Schema multipliziert.



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