Eine Differentialgleichung (abgekürzt DGL) ist eine mathematische Gleichung zu einer Funktion, die auch Ableitungen dieser Funktion enthält.
Dieser Artikel beschäftigt sich im Wessentlichen mit den Eigenschaften und dem Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Arten von Differentialgleichungen
Es gibt im Wesentlichen zwei Arten von Differentialgleichungen: Gewöhnliche und Partielle Differentialgleichungen.
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der neben der unabhängigen Variablen x und der gesuchten Funktion y(x) auch mindestens eine der Ableitungen der gesuchten Funktion vorkommt.
Beispiele: 
Der Begriff gewöhnliche Differentialgleichung gibt an, dass in dieser Gleichung nur Ableitungen einer Variablen/Funktion vorkommen.
Partielle Differentialgleichungen
Eine partielle Differentialgleichung enthält Ableitungen mehrerer Variablen.
Merkmale und Eigenschaften von Differentialgleichungen
Ordnung
Die Ordnung einer DGL wird durch die höchste vorkommende Ableitung bestimmt.
Beispiel: 
(dritte Ordnung)
Linearität
Eine lineare Differentialgleichung besteht nur aus Linearkombinationen (d.h. Summen und Differenzen) der einzelnen Ableitungen in erster Potenz mit entsprechenden Koeffizienten
Beispiel: 
-> linear
-> nichtlinear
Homogenität
Um die Homogenität einer DGL zu bestimmen, muss man ermitteln, ob sie eine Störfunktion besitzt. Zur Störfunktion gehören alle Terme, die von der Variablen x abhängig sind, aber nicht die gesuchte Funktion y enthalten.
Enthält eine DGL keine von 
und dessen Ableitungen freie Störfunktion, so ist sie homogen.
Beispiel: 
-> homogen
-> inhomogen
Separierbarkeit
Ist dann gegeben, wenn sich die Gleichung in der Form 
ausdrücken lässt.
Beispiele:
separierbar
separierbar
nicht separierbar
Lösen von Differentialgleichungen
Für das Lösen von Differentialgleichungen gibt es je nach Art der DGL unterschiedliche Verfahren. Man kann dabei immer eine homogene und eine inhomogene Lösung ermitteln. Die homogene Lösung ergibt sich, wenn bei der DGL keine Störfunktion vorhanden ist, oder die Störfunktion auf 0 gesetzt wird. Weiterhin gibt es verschiedene Abstufungen bei den Lösungsarten.
Lösungsarten von Differentialgleichungen
Bei einer Differentialgleichung n-ter Ordnung unterscheidet man zwischen drei Varianten die man beim Lösen der DGL erhalten kann:
- Allgemeine Lösung Ist nur von
unabhängigen Parametern abhängig: 
- Spezielle Lösung: Geht aus der allgemeinen Lösung hervor. Durch Einbeziehung von Anfangswerten oder Randbedingungen nehmen die Konstanten spezielle Werte an.
- Singuläre Lösung: Ist nicht in der Allgemeinen enthalten, aber dennoch korrekt.
Beispiel: 
Anfangs-/Randbedingungen in allg. Lösung einsetzen:
Spezielle Lösung: 
Differentialgleichungen 1. Ordnung
Lösungsansatz: Trennen der Variablen
Dieser Ansatz wird verwendet, um separierbare DGLn erster Ordnung zu lösen. Hierbei werden die
und 
getrennt integriert.
Vorgehensweise
- Schreiben der DGL in der Form
- Auflösen nach , falls möglich
Beispiel:
Anfangsbedingung: 
allgemeine Lösung:
spezielle Lösung (einsetzen der Anfangsbedingung):
Lösungsansatz: Substitution
Bestimmte Typen lassen sich so in eine separierbare DGL überführen, die dann mit Hilfe der Trennung der Variablen zu lösen ist.
Typ 1: 
- Substituieren
- DGL lautet nun
- Lösung durch „Trennung der Variablen“
- Resubstituieren und auflösen nach
, falls möglich
Beispiel: 
Substituieren: 
„Trennen der Variablen“: 
Resubstituieren: 
Typ 2: 
- Substituieren:
- DGL lautet nun
- Lösung durch „Trennung der Variablen“
- Resubstituieren und auflösen nach , falls möglich
Beispiel: 
Substituieren: 
„Trennen der Variablen“: 
Resubstituieren:
Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
- wird gesucht,
ist die erste Ableitung 
bzw. 
ist der Koeffizient (bekannt)
ist die Störfunktion (bekannt) und bei homogenen DGLn Null
Homogene Lösung
ist stets eine, die triviale, Lösung
allgemein: 
Beispiel: 
Inhomogene Lösung
allgemein: 
Da 
zweimal Verwendung findet, sucht man normalerweise erst die homogene Lösung.
Beispiel: 
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Eingenschaften von 
:
Homogene Lösung
sind linear unabhängige Lösungen von 
Das Überprüfen der linearen Unabhängigkeit kann mit Hilfe der Wronski-Determinanten erfolgen.
Inhomogene Lösung
Es genügt die allg. Lösung der homogenen und eine der inhomogenen DGL zu bestimmen.
- allgemeine Lösung der homogenen DGL:
- spezielle Lösung der inhomogenen DGL:
Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Homogene Lösung
Nach dem Aufstellen der charakteristischen Gleichung 
werden 
und 
mit Hilfe der pq-Formel 
bestimmt. Nun werden drei Fälle unterschieden:
- Fall:
hom. DGL besitzt die zwei Lösungen
- Fall:
hom. DGL besitzt eine doppelte Lösung
- Fall:
hom. DGL besitzt die konjugiert komplexen Lösungen
und 
Inhomogene Lösung
Der Ansatz richtet sich nach dem Typ der Störfunktion 
(siehe Tabelle).
Beispiel: 
- Charakteristische Gleichung:
- Ansatz für
aus Tabelle ablesen und Ableitungen berechnen:
Einsetzen in die DGL:
- Für spezielle Lösung
und 
finden: 
bestimmen und die Werte aus dem gegebenen Anfangsproblem einsetzen.
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Homogene Lösung
charakteristische Gleichung: 
(besitzt Nullstellen)
Lösungsfunktionen (gemäß der Vielfalt der Nullstellen):
: einfache Nullstelle 
: k-fache Nullstelle 
: einfache Nullstelle 
: k-fache Nullstelle 
Die Linearkombination dieser Lösungsfunktionen ergibt .
Inhomogene Lösung
Der Ansatz richtet sich nach dem Typ der Störfunktion (siehe Tabelle).
Beispiel: 
charakteristische Gleichung:
Ansatz für partikuläre Lösung nach Tabelle: 
Einsetzen in Ausgangs-DGL mit anschließendem Koeffizientenvergleich:
Lösungsansätze für inhomogene Differentialgleichungen
- für eine spezielle Lösung von
- charakteristische Gleichung:
: Grad der Störfunktion
und 
: unbekannte Konstanten, die durch Randbedingungen bestimmt werden müssen
)
)
)
Die Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann in folgenden Schritten erfolgen:
- Bestimmen der allgemeinen Lösung
der zugehörigen hom. DGL - Ermitteln einer speziellen Lösung
in den Teilschritten
-
- Ansatz für gemäß obiger Tabelle
- Bilden der ersten und zweiten Ableitung von
- Koeffizientenvergleich nach Einsetzen des Ansatzes und seinen Ableitungen in die DGL und Ermitteln der unbestimmten Größen im Ansatz
- Ansatz für
- Bilden der allgemeinen Lösung
der inhomogen DGL - Gegebenfalls Lösen einer Anfangswertaufgabe zur Bestimmung von und